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A magnitude do 52 fatorial

10/02/2016 Artigos 1326

Eu sou um fã de muitos assuntos relacionados a ciência, por esse motivo sou inscrito em diversos canais científicos no youtube, e vez ou outra me deparo com um assunto tão incrível que explode minha mente. Nesse artigo, quero apresentar pra vocês a dimensão do número 52! Ou 52 fatorial.

Mas por que 52 especificamente? Tem a ver com o número de cartas presentes em um baralho e quantos embaralhamentos é possível fazer com ele. O texto abaixo é uma tradução feita do artigo de Scott Czepiel, sugerido pelo canal Vsauce do youtube.

Tudo começa com um simples deque de cartas de baralho.

Elas parecem inofensivas, 52 finas laminas de papelão com designs coloridos imprimidos em suas faces. No entanto, como outra ilustração do mantra que diz que a complexidade começa com os mais simples dos sistemas, o numero de variações que essas 52 cartas podem produzir é virtualmente infinito. A riqueza da maioria dos jogos de cartas se deve a este fato.

Permute isto.

O número de possíveis permutações de 52 cartas é 52!. Eu acho que a exclamação foi escolhida como o símbolo para a operação fatorial afim de chamar atenção ao fato de que esta função produz números surpreendentemente grandes em um período curto de tempo. Se você tiver uma antiga calculadora de bolso, o tipo cujo número máximo é 99.999.999, uma tentativa de calcular o fatorial de qualquer número maior que 11 resulta em um valor não muito útil de “Error”. Então se 12! Vai quebrar a maioria das calculadoras típicas, o quão grande é 52!?

52! é o número de diferentes formas que você pode arranjar um único deck de cartas. Você pode visualizar isso ao construir um deck de cartas randomicamente embaralhadas. Comece com todas as cartas em uma pilha. Randomicamente selecione uma das 52 cartas para ocupar a posição 1. Em seguida, randomicamente escolha uma das 51 restantes para a posição 2, e então uma das 50 restantes para ocupar a posição 3 e assim por diante. Logo, o número total de maneiras que você pode arranjar as cartas é 52 * 51 * 50 ... *3*2*1, ou 52!. Aqui está o número resultante:

80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000

Este número é além de astronomicamente grande. Eu digo além de astronomicamente grande porque a maioria dos números que já consideramos ser astronomicamente grandes são meras frações infinitesimais deste número. Então, o quão grande ele é? Vamos tentar entender a magnitude desse número com nossos pequenos cérebros humanos usando um pequeno exercício teórico. Inicie um cronometro que vai efetuar uma contagem regressiva de 52! até 0. Veremos o quanto podemos nos divertir antes que o contador alcance a marca 0.

Podemos jogar um jogo?

Comece pegando seu lugar favorito no equador. Você vai andar ao redor do planeta na linha do equador, mas pegue o ritmo extremamente preguiçoso de 1 passo a cada 1 bilhão de anos. Leve consigo um deck de cartas pra jogar alguns trilhões de partidas entre os passos. Após você concluir uma volta ao redor do planeta, remova uma gota de agua do Oceano Pacífico. Agora faça o mesmo processo novamente: dê a volta ao mundo na velocidade de um bilhão de anos por passo, removendo uma gota de agua do Oceano Pacífico toda vez que completar uma volta. Continue até que o oceano esteja vazio. Quando estiver, pegue uma folha de papel e estenda-a no chão. Agora encha novamente o oceano, e comece o processo novamente, adicionando uma folha de papel a pilha toda vez que esvaziar o oceano.

Faça isso até que a pilha de papel alcance o sol. Dê uma olhada no cronômetro, você verá que os primeiros três dígitos do número nem mesmo mudaram. Você ainda terá 8.063^67 segundos restantes. Então retire a pilha de papel e comece o processo novamente. MIL VEZES MAIS. Infelizmente, isso ainda não vai ser o suficiente. Ainda restam 5.385^67 segundos restantes. Você completou apenas um terço do caminho.

E você que pensava que tardes de domingo eram entediantes.

Considerações finais: O texto original está aqui, e tem uma parte extra super interessante caso você se interesse. O vídeo do vsauce mencionado é este aqui. Aqui vão alguns fatos relevantes para o texto acima:

  • 1 – A circunferência equatorial da terra tem 40.075.017 metros.
  • 2 – O oceano pacífico possui 707,6 milhões de quilômetros cúbicos de agua.
  • 3 – 1 Unidade Astronômica (AU), a distância entre a terra e o sol, é definida por 149.597.870,691 quilômetros.
  • 4 – Um bilhão de anos tem 31536000000000000 segundos.

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